Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius.
1. Koordinat Cartesius
Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y).Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0).
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat).Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.
b.Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Coba perhatikan Gambar 3.3
Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). Sebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.
2. Menggambar Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.
Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.
GRADIEN
1. Pengertian Gradien
Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien.Vector∇ diferensial yang disajikan dengan operator DELTA disimbolisir dengan
Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.Biasanya gradien dilambangkan dengan m.
Atau dengan kata lain Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.
2. Perhitungan Gradien
Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan
antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.
b. Menghitung Gradien Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.
Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.
c.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax+b+c=0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara
mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah
d. Menghitung Gradien yang melalui dua titik
Rumus umum untuk mencari gradient pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.
Catatan:
Selisih antara dua bilangan dinotasikan dengan
3.Sifat-sifat Gradien
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-X
Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol. b. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu- Y
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.
c.Gradient Dua Garis yang Sejajar
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
d.Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.
C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat.
Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. y = mx+c
Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.
1.Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik dengan Gradien m
Persamaan garis yang melalui titik dan bergradien m adalah
2.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Sejajar Garis y = mx+c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx adalah
.
3.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Tegak Lurus Garis y = mx +c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx +c adalah
4.Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang dan
Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang A dan B adalah
Atau dapat dituliskan
D.MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS
1.Kedudukan Dua Garis pada Bidang
Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitu sejajar dan berpotongan.
Dua garis sejajar tidak akan berpotongan di satu titik tertentu meski diperpanjang sampai tak berhingga. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada titik potong antara dua garis yang sejajar.
2.Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan koordinat titik potong persamaan garis
lurus, yaitu cara menggambar (cara grafikk) dan cara substitusi.
a.Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga
koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.
b.Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan
(disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.
E. MEMECAHKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAAN GARIS LURUS
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus.Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.
Contoh ;
1.Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2.Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen, b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1.Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak- waktu yang diberikan.Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu
3jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
2.Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
•Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x
cokelat = y
•Terjemahkan ke dalam model matematika.
2permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
•Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain 2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200 –7y = –1.400
y = 200
•Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x+ 5y = 1.100
x+ 5 (200) = 1.100
x+ 1.000 = 1.100
x= 1.100 – 1.000
x = 100 Dengan demikian, diperoleh:
a.harga sebuah permen = x = Rp100,00
b.harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c.harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
=4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
=Rp600,00
Divergensi
Divergent suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda scalar antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Curl
Curl suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda vektor antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Minggu, 28 Juli 2013
PENGERTIAN GARIS LURUS
PENGERTIAN GARIS LURUS
Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius.
1. Koordinat Cartesius
Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y).Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0).
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat).Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.
b.Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Coba perhatikan Gambar 3.3
Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). Sebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.
2. Menggambar Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.
Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.
GRADIEN
1. Pengertian Gradien
Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien.Vector∇ diferensial yang disajikan dengan operator DELTA disimbolisir dengan
Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.Biasanya gradien dilambangkan dengan m.
Atau dengan kata lain Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.
2. Perhitungan Gradien
Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan
antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.
b. Menghitung Gradien Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.
Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.
c.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax+b+c=0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara
mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah
d. Menghitung Gradien yang melalui dua titik
Rumus umum untuk mencari gradient pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.
Catatan:
Selisih antara dua bilangan dinotasikan dengan
3.Sifat-sifat Gradien
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-X
Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol. b. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu- Y
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.
c.Gradient Dua Garis yang Sejajar
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
d.Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.
C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat.
Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. y = mx+c
Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.
1.Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik dengan Gradien m
Persamaan garis yang melalui titik dan bergradien m adalah
2.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Sejajar Garis y = mx+c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx adalah
.
3.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Tegak Lurus Garis y = mx +c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx +c adalah
4.Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang dan
Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang A dan B adalah
Atau dapat dituliskan
D.MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS
1.Kedudukan Dua Garis pada Bidang
Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitu sejajar dan berpotongan.
Dua garis sejajar tidak akan berpotongan di satu titik tertentu meski diperpanjang sampai tak berhingga. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada titik potong antara dua garis yang sejajar.
2.Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan koordinat titik potong persamaan garis
lurus, yaitu cara menggambar (cara grafikk) dan cara substitusi.
a.Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga
koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.
b.Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan
(disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.
E. MEMECAHKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAAN GARIS LURUS
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus.Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.
Contoh ;
1.Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2.Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen, b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1.Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak- waktu yang diberikan.Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu
3jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
2.Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
•Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x
cokelat = y
•Terjemahkan ke dalam model matematika.
2permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
•Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain 2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200 –7y = –1.400
y = 200
•Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x+ 5y = 1.100
x+ 5 (200) = 1.100
x+ 1.000 = 1.100
x= 1.100 – 1.000
x = 100 Dengan demikian, diperoleh:
a.harga sebuah permen = x = Rp100,00
b.harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c.harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
=4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
=Rp600,00
Divergensi
Divergent suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda scalar antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Curl
Curl suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda vektor antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius.
1. Koordinat Cartesius
Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y).Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0).
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat).Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.
b.Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Coba perhatikan Gambar 3.3
Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). Sebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.
2. Menggambar Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.
Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.
GRADIEN
1. Pengertian Gradien
Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien.Vector∇ diferensial yang disajikan dengan operator DELTA disimbolisir dengan
Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.Biasanya gradien dilambangkan dengan m.
Atau dengan kata lain Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.
2. Perhitungan Gradien
Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan
antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.
b. Menghitung Gradien Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.
Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.
c.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax+b+c=0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara
mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah
d. Menghitung Gradien yang melalui dua titik
Rumus umum untuk mencari gradient pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.
Catatan:
Selisih antara dua bilangan dinotasikan dengan
3.Sifat-sifat Gradien
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-X
Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol. b. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu- Y
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.
c.Gradient Dua Garis yang Sejajar
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
d.Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.
C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat.
Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. y = mx+c
Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.
1.Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik dengan Gradien m
Persamaan garis yang melalui titik dan bergradien m adalah
2.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Sejajar Garis y = mx+c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx adalah
.
3.Persamaan Garis yang Melalui Titik dan Tegak Lurus Garis y = mx +c
Persamaan Garis yang Melalui Titik dan sejajar Garis y = mx +c adalah
4.Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang dan
Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sembarang A dan B adalah
Atau dapat dituliskan
D.MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS
1.Kedudukan Dua Garis pada Bidang
Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitu sejajar dan berpotongan.
Dua garis sejajar tidak akan berpotongan di satu titik tertentu meski diperpanjang sampai tak berhingga. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada titik potong antara dua garis yang sejajar.
2.Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan koordinat titik potong persamaan garis
lurus, yaitu cara menggambar (cara grafikk) dan cara substitusi.
a.Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga
koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.
b.Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan
(disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.
E. MEMECAHKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAAN GARIS LURUS
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus.Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.
Contoh ;
1.Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2.Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen, b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1.Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak- waktu yang diberikan.Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu
3jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
2.Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
•Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x
cokelat = y
•Terjemahkan ke dalam model matematika.
2permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
•Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain 2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200 –7y = –1.400
y = 200
•Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x+ 5y = 1.100
x+ 5 (200) = 1.100
x+ 1.000 = 1.100
x= 1.100 – 1.000
x = 100 Dengan demikian, diperoleh:
a.harga sebuah permen = x = Rp100,00
b.harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c.harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
=4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
=Rp600,00
Divergensi
Divergent suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda scalar antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Curl
Curl suatu vector fungsi V(x,y,z)
(terdefinisi dan terdeferensial terhadap semua variable bebas pada suatudomain) didefinisikan sebagai ganda vektor antara operator delta dengan vector fungsi V(x,y,z) = V1(x,y,z) i + V2(x,y,z) j +
V3(x,y,z) k , dan disajikan sebagai
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar